Vierter Band: 1670–1673: Infinitesimalmathematik

Abstract

Der vorliegende Band umfasst die fast ausnahmslos undatierten Studien, Entwürfe, Aufzeichnungen vom März bis Ende 1673 zur Infinitesimalrechnung, also zur unmittelbaren Vorgeschichte der Erfindung des Calculus. Ein großer Teil der von Dietrich Mahnke 1926 genauer studierten Leibnizschen Aufzeichnungen, um die Entdeckungsgeschichte der höheren Analysis aufzuklären, wird hier erstmalig veröffentlicht. Durch sorgfältiges, schöpferisches Studium von Autoren wie H. Fabri, Chr. Huygens, N. Mercator, R. Fr. de Sluse, J. Gregory, B. Pascal und J. Wallis arbeitet sich Leibniz in die Infinitesimalmathematik ein. Er entwickelt fruchtbare Begriffe wie den der Funktion, des unendlich Kleinen, des charakteristischen Dreiecks. Von entscheidender Bedeutung ist die Ableitung des Transmutationssatzes, Leibniz’ erster herausragender Entdeckung auf dem Gebiet der Infinitesimalgeometrie. Das rechtwinklige Dreieck mit unendlich kleinen Seiten, das er das „charakteristische“ nennt, erlaubt ihm die Ableitung von über 150 Sätzen. Er spricht von der „Trigonometrie des nicht Zuordbaren“. Ein zweites herausragendes Ergebnis ist die Entdeckung der arithmetischen Kreisquadratur, d. h. einer konvergenten, unendlichen Reihe von rationalen Zahlen, deren Summe die Kreisfläche ergibt. Am Anfang dazu steht seine Einsicht in den Zusammenhang zwischen Kreisquadratur und Pascalschen Sätzen über die Summe der sinus und der Werte für 1 – cosinus. Im August 1673 durchschaut er die Erzeugung einer arithmetischen Quadratur und die Wesensgleichheit von Rektifikationen, Quadraturen und umgekehrten Tangentenkonstruktionen. Von hohem wissenschaftlichen Interesse sind Leibniz’ Studien zu bestimmten höheren Kurven: Konchoiden, Zykloiden, Zissoiden, Paraboloiden und Hyperboloiden. Seine programmatischen Untersuchungen zur Arithmetik des Unendlichen und Analysis der Indivisiblen sind wichtige Beiträge zur Grundlagen- und Methodenproblematik der Mathematik.